CRC算法与实现[1]

摘要: 本文首先讨论了crc的代数学算法，然后以常见的crc-itu为例，通过硬件电路的实现，引出了比特型算法，最后重点介绍了字节型快速查表算法，给出了相应的c语言实现。

关键词: crc, fcs, 生成多项式, 检错重传

引言

crc的全称为cyclic redundancy check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。实际上，除数据通信外，crc在其它很多领域也是大有用武之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个zip文件时，偶尔会碰到“bad crc”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。

差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍crc的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。

利用crc进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(crc码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和crc码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。

1 代数学的一般性算法

在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x⁶+1·x⁵+0·x⁴+0·x³+1·x²+0·x+1，即 x⁶+x⁵+x²+1。

设编码前的原始信息多项式为p(x)，p(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为g(x)，g(x)的最高幂次等于r；crc多项式为r(x)；编码后的带crc的信息多项式为t(x)。

发送方编码方法：将p(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以g(x)，所得余式即为r(x)。用公式表示为
t(x)=x^rp(x)+r(x)

接收方解码方法：将t(x)除以g(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即p(x)=x³+x²，g(x)=x³+x+1，计算crc的过程为

      xrp(x)     x3(x3+x2)     x6+x5                    x
     -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------
       g(x)       x3+x+1      x3+x+1                 x3+x+1

即 r(x)=x。注意到g(x)最高幂次r=3，得出crc为010。

如果用竖式除法，计算过程为

               1110
            -------   
      1011 /1100000     (1100左移3位)
            1011
            ----
             1110
             1011
             -----
              1010
              1011
              -----
               0010
               0000
               ----
                010

因此，t(x)=(x⁶+x⁵)+(x)=x⁶+x⁵+x, 即 1100000+010=1100010

如果传输无误，

       t(x)     x6+x5+x
      ------ = --------- = x3+x2+x,
       g(x)     x3+x+1

无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解crc的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证crc。

下表中列出了一些见于标准的crc资料：